De vectoranalyse ook wel vectorcalculus genoemd is een deelgebied van de wiskunde dat zich bezighoudt met de multivariabele analyse van vectoren in een inwendig productruimte van twee of meer dimensies sommige resultaten zoals het vectorproduct kunnen alleen worden toegepast in drie dimensies De vectoranalyse bestaat uit een samenhangende verzameling van formules en oplossingsmethoden die van groot nut zijn in de techniek en de natuurkunde De vectoranalyse vindt zijn oorsprong in de analyse van quaternionen en werd als eerste opgesteld door de Amerikaanse wiskundige Josiah Willard Gibbs en de Britse ingenieur Oliver Heaviside Vectoranalyse houdt zich bezig met scalaire velden waar aan elk punt in de ruimte een scalair wordt toegekend en met vectorvelden waar met elk punt in de ruimte een vector wordt geassocieerd De temperatuur van het water in een zwembad is bijvoorbeeld een scalair veld aan elk punt wordt een scalaire waarde in dit geval de temperatuur toegekend De waterstroom in ditzelfde zwembad is een vectorveld met elk punt associeren we een snelheidsvector VectoroperatiesDe vectoranalyse bestudeert verschillende differentiaaloperatoren die op scalaire velden en vectorvelden zijn gedefinieerd Deze operatoren worden meestal uitgedrukt in termen van de nabla operator x y z displaystyle mathbf nabla left frac partial partial x frac partial partial y frac partial partial z right De vier belangrijkste operatoren uit de vectoranalyse zijn Operatie Notatie Beschrijving Domein en bereikGradient grad f f displaystyle operatorname grad f nabla f Meet de mate en de richting van verandering in een scalair veld Beeldt scalaire velden af op vectorvelden Rotatie of rotor rot F displaystyle operatorname rot mathbf F of curl F F displaystyle operatorname curl mathbf F nabla times mathbf F Meet de neiging om rond een punt in een vectorveld te roteren Beeldt vectorvelden af op vectorvelden Divergentie div F F displaystyle operatorname div mathbf F nabla cdot mathbf F Meet de grootte van een bron of put van een gegeven punt in een vectorveld Beeldt vectorvelden af op scalaire velden Laplaciaan Df 2f f displaystyle Delta f nabla 2 f nabla cdot nabla f Een samenstelling van de divergentie en gradientoperaties Beeldt scalaire velden af op scalaire velden StellingenOp dezelfde manier zijn er aan deze operatoren verschillende belangrijke stellingen gerelateerd die de hoofdstelling van de integraalrekening naar hogere dimensies veralgemenen Stelling Statement Beschrijvingϕ q ϕ p L ϕ dr displaystyle phi left mathbf q right phi left mathbf p right int L nabla phi cdot d mathbf r De lijnintegraal door een gradient vectorveld is gelijk aan het verschil tussen haar scalaire veld in de eindpunten van de kromme Stelling van Green CLdx Mdy D M x L y dA displaystyle int C L dx M dy iint D left frac partial M partial x frac partial L partial y right dA De integraal van de scalaire rotor van een vectorveld over enige regio in het vlak is gelijk aan de lijnintegraal van het vectorveld over de kromme die deze regio begrenst Stelling van Stokes S F dS SF dr displaystyle int Sigma nabla times mathbf F cdot d mathbf Sigma oint partial Sigma mathbf F cdot d mathbf r De integraal van de rotor van een vectorveld over een oppervlak is gelijk aan de lijnintegraal van het vectorveld over de kromme die dit oppervlak begrenst Divergentiestelling V FdV VF dS displaystyle iiint limits V nabla cdot mathbf F dV iint limits partial V mathbf F cdot d mathbf S De integraal van de divergentie van een vectorveld over enig vast lichaam is gelijk aan de integraal van de flux door het oppervlak dat dit vaste lichaam begrenst Het gebruik van de vectoranalyse kan vereisen dat rekening moet worden gehouden met de orientatie van het coordinatensysteem zie kruisproduct en orientatie voor meer details Het merendeel van de analytische resultaten kunnen ook in een meer algemene vorm met behulp van methodes uit de differentiaalmeetkunde waarvan de vectoranalyse een deelverzameling vormt worden gesteld IdentiteitenOptelling en vermenigvuldiging A B B A displaystyle mathbf A mathbf B mathbf B mathbf A A B B A displaystyle mathbf A cdot mathbf B mathbf B cdot mathbf A A B B A displaystyle mathbf A times mathbf B mathbf B times mathbf A A B C A C B C displaystyle left mathbf A mathbf B right cdot mathbf C mathbf A cdot mathbf C mathbf B cdot mathbf C A B C A C B C displaystyle left mathbf A mathbf B right times mathbf C mathbf A times mathbf C mathbf B times mathbf C A B C B C A C A B displaystyle mathbf A cdot left mathbf B times mathbf C right mathbf B cdot left mathbf C times mathbf A right mathbf C cdot left mathbf A times mathbf B right A B C A C B A B C displaystyle mathbf A times left mathbf B times mathbf C right left mathbf A cdot mathbf C right mathbf B left mathbf A cdot mathbf B right mathbf C A B C A C B B C A displaystyle left mathbf A times mathbf B right times mathbf C left mathbf A cdot mathbf C right mathbf B left mathbf B cdot mathbf C right mathbf A A B C D A C B D B C A D displaystyle left mathbf A times mathbf B right cdot left mathbf C times mathbf D right left mathbf A cdot mathbf C right left mathbf B cdot mathbf D right left mathbf B cdot mathbf C right left mathbf A cdot mathbf D right A B C D A D B C B D C A C D A B displaystyle left mathbf A cdot left mathbf B times mathbf C right right mathbf D left mathbf A cdot mathbf D right left mathbf B times mathbf C right left mathbf B cdot mathbf D right left mathbf C times mathbf A right left mathbf C cdot mathbf D right left mathbf A times mathbf B right A B C D A B D C A B C D displaystyle left mathbf A times mathbf B right times left mathbf C times mathbf D right left mathbf A cdot left mathbf B times mathbf D right right mathbf C left mathbf A cdot left mathbf B times mathbf C right right mathbf D Differentieren Gradient ps ϕ ps ϕ displaystyle nabla psi phi nabla psi nabla phi psϕ ϕ ps ps ϕ displaystyle nabla psi phi phi nabla psi psi nabla phi A B A B B A A B B A displaystyle nabla left mathbf A cdot mathbf B right left mathbf A cdot nabla right mathbf B left mathbf B cdot nabla right mathbf A mathbf A times left nabla times mathbf B right mathbf B times left nabla times mathbf A right Divergentie A B A B displaystyle nabla cdot mathbf A mathbf B nabla cdot mathbf A nabla cdot mathbf B psA ps A A ps displaystyle nabla cdot left psi mathbf A right psi nabla cdot mathbf A mathbf A cdot nabla psi A B B A A B displaystyle nabla cdot left mathbf A times mathbf B right mathbf B cdot nabla times mathbf A mathbf A cdot nabla times mathbf B Rotatie A B A B displaystyle nabla times mathbf A mathbf B nabla times mathbf A nabla times mathbf B psA ps A ps A displaystyle nabla times left psi mathbf A right psi nabla times mathbf A nabla psi times mathbf A A B A B B A B A A B displaystyle nabla times left mathbf A times mathbf B right mathbf A left nabla cdot mathbf B right mathbf B left nabla cdot mathbf A right left mathbf B cdot nabla right mathbf A left mathbf A cdot nabla right mathbf B Tweede afgeleiden A 0 displaystyle nabla cdot nabla times mathbf A 0 ps 0 displaystyle nabla times nabla psi mathbf 0 ps 2ps displaystyle nabla cdot nabla psi nabla 2 psi Laplaciaan A A 2A displaystyle nabla left nabla cdot mathbf A right nabla times left nabla times mathbf A right nabla 2 mathbf A ϕ ps ϕ 2ps ϕ ps displaystyle nabla cdot phi nabla psi phi nabla 2 psi nabla phi cdot nabla psi ps 2ϕ ϕ 2ps ps ϕ ϕ ps displaystyle psi nabla 2 phi phi nabla 2 psi nabla cdot left psi nabla phi phi nabla psi right 2 ϕps ϕ 2ps 2 ϕ ps ps 2ϕ displaystyle nabla 2 phi psi phi nabla 2 psi 2 nabla phi cdot nabla psi psi nabla 2 phi 2 psA A 2ps 2 ps A ps 2A displaystyle nabla 2 psi mathbf A mathbf A nabla 2 psi 2 nabla psi cdot nabla mathbf A psi nabla 2 mathbf A 2 A B A 2B B 2A 2 B A B A displaystyle nabla 2 mathbf A cdot mathbf B mathbf A cdot nabla 2 mathbf B mathbf B cdot nabla 2 mathbf A 2 nabla cdot mathbf B cdot nabla mathbf A mathbf B times nabla times mathbf A Derde afgeleiden 2 ps ps 2ps displaystyle nabla 2 nabla psi nabla nabla cdot nabla psi nabla nabla 2 psi 2 A A 2A displaystyle nabla 2 nabla cdot mathbf A nabla cdot nabla nabla cdot mathbf A nabla cdot nabla 2 mathbf A 2 A A 2A displaystyle nabla 2 nabla times mathbf A nabla times nabla times nabla times mathbf A nabla times nabla 2 mathbf A ToepassingenEen belangrijke toepassing van de vectoranalyse is de eruit voortkomende potentiaaltheorie Beide gebieden de vectoranalyse en de potentiaaltheorie worden intensief gebruikt in de wiskundige natuurkunde Externe linkVector Analysis Een tekstboek voor studenten wis en natuurkunde gebaseerd op de colleges van Willard Gibbs door Edwin Bidwell Wilson gepubliceerd in 1902, wikipedia, wiki, boek, boeken, bibliotheek, artikel, lezen, downloaden, gratis, gratis downloaden, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, foto, muziek, lied, film, boek, spel, spelletjes, mobiel, telefoon, Android, iOS, Apple, mobiele telefoon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, Web, computer